《剑指offer》 11.旋转数组的最小数字

剑指offer
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note:拿到手就要意识到是二分查找。然后思考数组的特性，选定target和每次边界移动的方式。

题目描述

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。

示例 1：

1
2
输入：[3,4,5,1,2]
输出：1

示例 2：

1
2
输入：[2,2,2,0,1]
输出：0

方法一 暴力

思路

暴力遍历，一般能过。

代码

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class Solution {
public:
    int minArray(vector<int>& numbers) {
        
        int minN = numbers[0];
        for(auto n:numbers){
            minN = min(n,minN);
        }
        return minN;
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度$O(n)$。显然经过了一次完整的遍历
  • 空间复杂度$O(1)$。没有需要存储的额外空间

方法二 快排

思路

快速排序，重新排序——优点就是太好写了（你管这叫优点？）

代码

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class Solution {
public:
    int minArray(vector<int>& numbers) {
        sort(numbers.begin(),numbers.end());
        return numbers[0];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度$O(nlogn)$。快排的复杂度。
  • 空间复杂度$O(nlogn)$。快排的复杂度。

方法三 二分查找

思路

显然前两种方法没有用到旋转数组的性质。而且为了拥有比$O(n)$更快的时间复杂度，很显然就是二分查找的方法，最主要的是，数组本身就是一个变形的“有序数组”，所以第一时间就应该考虑二分查找法。

二分查找需要两个条件，一是数组有序，而是目标值。

旋转数组虽然不是完全有序，但是是部分有序。目标值的选取我们可以考虑左值或者右值来判断区间如何缩小。

如果时刻选取左值为target，我们会发现无法给我们带来有效的规律。但是如果我们时刻选择右值为target，有这样一个性质——最小值右侧的元素必然小于等于最右值，左侧元素必然大于等于最右值。根据这一性质，我们就可以通过二分法来找最小值了。

分析二分查找每一步中中轴元素和最右值比较的不同结果

  • 中轴元素小于最右值。区间可以缩小为左指针到中轴元素，左闭右闭，右侧被舍去是因为他们一定比最小值大或者相等。
  • 中轴元素大于最右值。区间可以缩小为中轴元素到右指针，左开右闭，左侧被舍去是因为左侧元素一定比最小值大或者相等。
  • 中轴元素等于最右值。因为存在重复元素，所以这一步很困难进行区间的变动，但是由于中轴元素等于最右值，则最右值没有必要一定要在更新后的区间内，因为不会因为剪掉它，我们就错过最小值。

需要注意的是，不同于一般的二分查找，此次二分查找target是不断变化的。

代码

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class Solution {
public:
    int minArray(vector<int>& numbers) {
        int left=0,right=numbers.size()-1;
        while(left<=right){
            int mid = left+(right-left)/2;
            if(numbers[mid]<numbers[right]){
                right = mid;
            } else if(numbers[mid]>numbers[right]){
                left = mid +1;
            } else{
                right --;
            }
        }
        return numbers[left];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度。平均时间复杂度为$O(logn)$，最坏时间复杂度为$O(n)$，此时数组全部相同。
  • 空间复杂度$O(1)$